La función de respuesta de frecuencia

      Es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vs fase vs frecuencia. Por eso una gráfica verdadera de ella necesita tres dimensiones, lo que es difícil de representar en papel. Una manera de realizar esto es la llamada gráfica de Bode, que consiste en dos curvas, una de amplitud vs frecuencia, y una de fase vs frecuencia. Otra manera de ver la función es de resolver la porción de fase en dos componentes ortogonales, una parte en fase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase (llamada la parte imaginaria o parte de la cuadratura).

A continuación vamos a ver una forma muy común de representar las funciones de transferencias: los diagramas de Bode. Veremos su definición, el por qué de su uso, y sus posibles aplicaciones.

Diagramas de Bode

Ya hemos visto las representaciones gráficas del módulo y del argumento en función de la pulsación. Otro tipo de gráficas que son muy útiles son los diagramas de Bode en los que se usan escalas logarítmicas en  y en ω. Estos diagramas tienen la misma información, pero son más sencillos de escribir, ya que se pueden aproximar mediante líneas rectas.

Si tenemos la magnitud:

Tomaremos logaritmos neperianos con el fin de acabar con los exponentes de forma que tendremos:

Aqui se  convertido en una suma de una parte real (dependiente sólo del módulo y una imaginaria (función sólo de la fase).

La transformación de ln a log es: dB = 8,6859 x neperios

Aplicación

Si tenemos la función de transferencia 

si tomamos ln:

a) si ω << z: 

b) si ω >> z: Tendremos una recta de pendiente 20 dB/década y se corta con la recta de 0 dB cuando 

Las frecuencias entre el punto B y el punto A abarcan una década. La desviación máxima entre la aproximación y la real es de 3dB.

En cuanto a la parte imaginaria de :

Se representa como dos rectas: una a 0º para ω << z y otra a 90º para ω >> z, unidas por una recta de pendiente 45º/década, que pasa por el punto (log z, 45º)

Construcción de los diagramas de Bode

Debido a las escalas empleadas en los diagramas de Bode, éstos pueden ser construidos en forma aproximada mediante trazos rectos. La figura C.1 muestra los diagramas de Bode aproximados para funciones sencillas de orden 1.

La figura C.2 muestra los diagramas de bode para funciones de orden 2; en estos casos, las aproximaciones pueden ser bastante lejanas de los diagramas exactos, dependiendo del factor de amortiguamiento . Por esta razón se han trazado los diagramas exactos para una función de segundo orden (para el primer caso de la figura C.2), en las figuras C.3 y C.4

Para funciones de transferencia más sofisticadas que las de las figuras C.1 y C.2 se descompone la función de trasferencia como productos de términos más sencillas, se trazan los diagramas de bode estas de funciones y luego se suman punto a punto para obtener los diagramas de la función original

Ejemplo Considérese la función de transferencia

Esta función puede descomponerse como el producto de cuatro funciones de transfenecia más sencillas:

Cada una de las funciones , ,  y  son de la forma que se muestra en las figuras C.1 y C.2. Pueden trazarse los diagramas de bode aproximados de estas funciones, y luego sumarlos punto a punto para obtener los diagramas de 

Ejemplos de funciones de 

transferencia

La representación de H(ω) implica 2 gráficas (módulo |H(ω)| y fase ((ω)). Son magnitudes reales → tienen significado físico.

Forma de H(ω): Cociente de dos polinomios en ω (jω)

Factorizando los polinomios:

Representaremos el módulo y la fase de

H(ω) factorizada

Por comodidad, se escoge una representación logarítmica:

Módulo:

eje Y: A(dB)=20log(|H(ω|) (decibelios)

eje X: ω en escala logarítmica

Fase:

eje Y: [H(ω)] en escala lineal

eje X: ω en escala logarítmica

(gráfica semilogarítmica)

Cada una de estas representaciones gráficas representa el Diagrama de Bode de Módulo y de Fase, respectivamente.

Aplicando logaritmos podemos representar el módulo de H(ω) como suma y diferencia de factores

Utilidad de los diagramas de Bode

Representación gráfica del comportamiento en frecuencia de un circuito.

Permiten representar un rango de ω mucho mayor. Cuando los polos y ceros de H(ω) son reales (o están muy cerca del eje R), la gráfica de |H(ω)| y ([(ω)] se puede aproximar fácilmente por tramos lineales.

Análisis de Estabilidad utilizando

 el Diagrama de Bode

Vídeo Explicativo

Estabilidad según Bode

Las trazas de Bode de una función de transferencia son una herramienta gráfica de suma utilidad para el análisis y diseño de sistemas de control lineales.

Ventajas:

 En ausencia de un ordenador, las trazas de Bode se pueden bosquejar por la aproximación de magnitud y fase con segmentos de línea recta. 2. El cruce de ganancia, el cruce de fase, el margen de ganancia y el margen de fase se determinan más fácilmente en las trazas de Bode que en la traza de Nyquist. 3. Para propósitos de diseño, los efectos de añadir controladores y sus parámetros se visualizan con mayor facilidad sobre las trazas de Bode que sobre la traza de Nyquist.

Desventaja

   La estabilidad absoluta y relativa a sistemas de fase mínima se puede determinar desde las trazas de Bode, pero no así los de fase no mínima. Por ejemplo, no hay forma de decir que el ángulo de 11  para el criterio de Nyquist esté sobre las trazas de Bode.

grupo 1

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